求解常系数线性递推关系

齐次

r阶递推关系：

$H_{n} - a_{1} H_{n - 1} - a_{2} H_{n - 2} \dots - a_{r} H_{n - r} = 0$

给定r个初值 $H_{0}, \dots, H_{r}$

特征方程： $x^{r} - a_{1} x^{r - 1} - \dots - a_{r - 1} x - a_{r} = 0$ 的根为特征根

一般解的形式为 $H_{n} = c_{1} q_{1}^{n} + \dots c_{r} q_{r}^{n}$

t个根 $q_{1}, \dots, q_{t}$ ，重数为 $r_{1}, \dots, r_{t}$

则一般解的形式是

Σ_{i = 1}^{t} Σ_{j = 1}^{r_{i}} d_{ij} n^{j - 1} q_{i}^{n}

假设有复根 $δ + i w = ρ e^{i θ}$ 和 $δ - i w = ρ e^{- i θ}$

则它们对应的一般解的部分是 $A ρ^{n} cos (n θ) + B ρ^{n} s in (n θ)$

非齐次通解=齐次通解+非齐次特解